Teorema de tales

Si dos rectas cuales quiera se cortan por varias rectas paralelas los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes

TEOREMA DE TALES DE UN TRIANGULO

Dando un trianguulo A,B,C si se trata de un segmento paralelo a B'o C´ a uno de los lados del triangulo que sera A,B' o C´ cuyos lados son proporcionales a los lados de un triangulo

AB/AB'=BC'/AC'=B´C'

4/2=6/b=a/4

b=6.2/4=3

a=6.4/3=8

Considera que en la figura MN es paralela a AC encuentra el valor de x

AB/MB=BC/NB

8+10/8=X+12/12

18/8=X+12/12

18/8=27/12=2.25=2.25................................comprobacion

BLOQUE 3

Relaciones trigonometricas

la palabra trigonometria proviene de las raices griegas

TRIGON: triangulo

METRA: medida

En la relacion o el estudio de las relaciones entre los lados y angulos de un triangulo

FUNCIONES O RAZONES TRIGONOMETRICAS

Una funcion es una razon directa entre dos cantidades y tenemos 6 razones

1. Seno= divison del cateto opuesto y la hipotenusa
2. Coseno=division  del cateto adyacente entre la hipotenusa
3. Tangente=division del cateto opuesto entre el cateto adyacente
4. Cosecante=division de la hipotenusa entre el cateto opuesto
5. Secante=division de la hipotenusa entre el cateto adyacente
6. Cotangente=division del cateto adyacente entre el cateto opuesto

EJERCICIOS

Dado un triangulo rectangulo cuyos catetos miden 6 y 8 cm calcula las funciones trigonometricas del angulo

sen=co/hip=.8                                                                hipotenusa=10

cos=ca/hip=.6                                                                cateto adyacente=6

tan=co/ca=.75                                                                cateto opuesto=8

csc=hip/ca=1.25

sec=hip/ca=1.66                                     

cot=ca/co=.75



En el triangulo rectangulo ABC calcula las funciones trigonometricas de los angulos B y alfa si sus catetos miden 4 y 2

 

alfa

seno=co/hip=.44                               hipotenusa=4.47    

cos=ca/hip=.89                                 cateto opuesto=4

tan=co/ca=.5                                     cateto adyacente=2

csc=hip/co=2.23

sec=hip/ca=1.11

cot=ca/co=2

seno=co/hip=.89

cos=ca/hip=.44

tan=ca/hip=2

csc=hip/co=1.11

sec=hip/ca=2.23

cot=ca/co=.5

 dado seno=1/2 encuentra el valor de los demas funciones trigonometricas si alfa es igual a uno de los angulos agudos del triangulo

sen=co/hip=1/2

 seno=co/hip=.57

cos=ca/hip=1.15

tan=hip/co=.5

csc=hip/ca=.1.73

sec=ca/co=.86

cot=ca/co=2

BIBLIOGRAFIA:
kalipedia.com

conevyt.org.mx

trigonometria.galeon.com

matebrunca.com

google.com

Teorema de la medida del angulo externo de un intriangulo *21-Feb-11*

La medida de un angulo externo es igual a la suma de las medidas de los dos angulos internos que no le son adyacentes.

Ejemplo:


En el triangulo ABC el <BCD es un angulo externo , encuentra su medida sabiendo que 
un <ABC=109°
un <BAC=25°                           

109+25=134                 180-134=46                                 <BCD=46°

En clase tambien vimos lo que es llamado :

CONGRUENCIA
Dos triangulos son congruentes , es decir iguales , cuando los lados y angulos de un triangulo son iguales a los lados y angulos de otro triangulo.

Criterios de congruencia

Criterio LLL

Dos triangulos son congruentes cuando los tres lados son iguales a los del otro triangulo.

Criterio LAL

Dos triangulos son congruentes cuando tienen dos lados iguales y el angulo comprendido entre ellos es respectivamente igual.

 

Criterio ALA

Dos triangulos son congruentes cuando uno de sus lados es igual y los angulos adyacentes a ese lado son respectivamente iguales a los angulos adyacentes del otro lado.

SEMEJANZA

Dos triangulos son semejantes si los tres angulos de uno de ellos son respectivamente congruentes con los tres angulos del otro.

Criterio AA (angulo,angulo)

Si dos angulos de un triangulo son congruentes con dos angulos de otro entonces los triangulos seran semejantes , es decir , tienen dos angulos congruentes.

Criterio LLL (lado,lado,lado)

Si las medidas de los lados correspondientes de dos triangulos son proporcionales entonces los triangulos son congruentes.

Criterio LAL (lado,angulo,lado)

Si las medidas de dos lados de un triangulo son proporcionales a las medidas de dos lados correspondientes de otro y los angulos correspondienes entre estos dos lados son congruentes , entonces son semejantes.

Ejercicios

1.-Compruebe que los siguientes triangulos son semejantes tomando en cuenta que 

a=4 , b=3 , c=6 , d=4.8 , e=3.6 , f=7.2

3/3.6= 0.83     6/7.2=0.83         4/4.8=0.83

2.Los siguientes triangulos son semejantes a los lados B=6 , A=8 ,B´=10 , 

A´=16

¿Cuanto miden C y C´?

5/10=0.5      8/16=0.5       6/12=0.5

6*2=12

10/2=5

3.-La figura MQ cruza NP y MN||QP ¿Cuanto mide w?

MN=w

MO=15

QO=6

PQ=4                  15*4/6=10

Triángulos 16/Feb/11

La clase de hoy trató sobre triángulos, pero antes la miss nos dió algunas definiciones:

Triángulo: Es un polígono formado por 3 líneas rectas que tiene 3 lados, 3 vertices y 3 ángulos.



También la maestra comentó que existe la calsficación de Triángulos:
- Por la longitud de sus lados.
- Segpun sus ángulos.

Triángulo Equilatero:
* 3 lados iguales.
  3 ángulos iguales.


Triángulo Isóceles:
* 2 lados iguales.
   2 ángulos iguales.



Triángulo Escaleno:
* Sus ángulos y lados son diferentes.


Triángulo Obtusángulo:
* 1 ángulo Obtuso (190°-180°)



Triángulo Rectángulo:
* 1 ángulo recto.


Triángulo Acutángulo:
* Todos sus ángulos son menores de 90°.



Otro tema que vimos en clase fue:

Teorema de la suma de las medidas de los ángulos internos de una triángulo.

La suma de los ángulos internos de un triángulo mide 180°.

Ejemplo:

Encuentra la medida del ángulo ACB en el siguiente triángulo. Si m< BAC= 45° y m< AB= 52°.

                                                                     

                                                                    A= 45°

                                                                    B= 52

                                                                    C= ?                                     52+45=97

                                                                                                                 180-97= 83

                                                                             

                                                                   Angulo ACB= 83°

        

Ejercicios:

1.- De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m. Resolver el triángulo.    

                     

B = 280/415 = 0.6747     B = arc sen 0.6747 = 42° 25′

C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′

c = a  B   c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m

Problema 2: De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21 m. Resolver el triángulo.

  

B = 33/21 = 1.5714      B = 57° 32′

C = 90° - 57° 32′ = 32° 28′

a =  B   a = 33/0.5437 = 39.12 m

Problema 3: De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22°. Resolver el triángulo.

C = 90° - 22° = 68°

b =  22°    b = 45 · 0.3746 = 16.85 m

c =  22°     c = 45 · 0.9272 = 41.72 m

triangulos,angulos-relaciones metricas-14 de febrero

para empezar el tema la profesora nos dio CONCEPTOS GEOMETRICOS BASICOS

• punto.-unidad grafica minima  .A .B .C
• linea.-sucesion de puntos,una de sus caracteristicas es que tienen longitud <-------------->
• linea curva.-sucesion d epuntos NO ALINEADOS
• plano.-es donde se representann los puntos y las lineas se caracterizan por que son anchos y largos
• puntos colineales.-puntos ubicados en una misma linea <---.A---.B---.C--->
• puntos cooplanares.-conjuntos de puntos en el mismo plano
• angulo.- avertura entre dos rayos (lados) que inicia en el mismo punto,al punto comun se le llama VERTICE

Despues de esos conceptos vimos la ¨"CLASIFICACION DE LOS ANGULOS"

• POR SUS MEDIDAS

angulo colineal o llano 180° 

angulo recto 90 ° (el cuadrito siempre mide 90 °)

angulo concavo debe de medir mas de 180 ° pero menos de 360°

angulo agudo debe medir menos de 90 ° pero mas de 0 °

clasifiacion de angulos POR LA SUMA DE SUS MEDIDAS

• Angulo complementario  la suma de AOC+COB=90°

Angulo suplementario la suma de AOB+COB=180°      

• Clasificacion de los angulos POR LA POSICION DE SUS LADOS

angulos adyacantes.- si tiene el mismo vertice y un lado comun se llaman angulos adyacantes

 < B <Y=OPUESTOS POR EL VERTICE

                                                                           <A <S= OPUESTOS POR EL VERTICE

EJERCICIOS

  en base a esta figura cuanto mide x ?

R=  x+55+20=90°    ---> x= 90°-55°-20

                                         x=15°

2.- de acuerdo con la figura cuanto vale x ?

                                       R=los angulos son complementarios entonces,

35°+x+40°=180°       x+75°=180°

                                  x=180°-75°

                                   x=105°

3.- Encuentra el valor de x

20°+(2x+10)+60° =180        2x+90°=180  

                                           2x=180-90°

                                               2x=90°

                                                   x=90/2

                                                    x=45°